Метод наименьших квадратов.

В рассмотренных выше методах интерполяции на интерполирующую функцию накладывалось условие, чтобы она проходила через узловые точки. В ряде задач, особенно когда значения функций в узловых точках известны с некоторой случайной погрешностью, выполнение этого условия ведет к увеличению погрешности интерполяции. В таком случае необходимо использовать метод наименьших квадратов.

Возьмем систему линейно-независимых функций j0(x), j1(х), j2(х), …, jn(х), т.е. таких, что выражение a0j0+a1j1+…+anjn=0 , на интервале [x0, xm] только при a0=a1=a2=…=am=0. Линейно независимыми функциями, заданными на дискретном множестве точек [x0, x1, …, xm], являются такие, что выражение j0(xi), j1(хi), j2(хi), …, jn(хi), (i=0,1,2,…,m) только при a0=a1=…=an=0. Например, линейно независимыми системами функций являются

1, x, x2, …, xn; 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cos(nx), sin(nx).

Зададим интерполирующую функцию в виде y(b0, x) = b0j0(x)+ b1j1(x)+…+ bnjn(x), где b0, b1,…, bn неизвестные пока числовые коэффициенты, n £ m.

Погрешность задания функции y в точке xi равна Di= b0j0(xi)+ b1j1(xi)+…+ bnjn(xi)- fi. Суммарное отклонение во всех узловых точках представим в виде

. Необходимо так подобрать b0, b1,…, bn , чтобы Ф было минимальным. Этому соответствуют условия .

Вычисляя частные производные получим

Решая эту систему линейных уравнений найдем неизвестные коэффициенты b0, b1,…, bn. Подставляя их в выражение для y получим интерполирующий полином для вычисления функции на интервале.

Наиболее часто в методе наименьших квадратов используются степенные функции 1, x, x2, x3,…

Если взять интерполирующий полином y = b0+ b1x+…+ bnx2, то система уравнений для вычисления b0, b1, b2 имеет вид

Варианты заданий.