Метод Адамса.
В этом методе для вычисления решения 
в точке 
необходимо знать значения y и f(x,y) в предыдущих m+1 точках xn,xn-1 ,…, xn-m. Перенумеруем эти узловые точки, обозначив х0,х1,х2, …, хm, а также обозначив fj=f(xj,yj), yj=y(xj).
Построим интерполирующий полином Лагранжа для f(x,y) по этим узловым точкам
, где
Точное решение задачи Коши можно представить зависимостью
Подставим вместо f выражение для интерполирующего полинома
После вычисления интеграла окончательно получаем
, где h- шаг интегрирования;
постоянные коэффициенты, зависящие от степени m интерполирующего полинома. Вычислим значения amj при использовании для интерполяции полинома второй степени (m=2). Он имеет вид
Вычислим значения интеграла от L2(x). Имеем
Значение знаменателя в выражении для 
равно (х0-х1)(х0-х2)=2h2.
Вычислим значения интегралов
Выберем начало системы координат х в середине интервала [х2, х3]. Тогда верхний предел интеграла равен h/2, нижний - h/2. Интеграл равен
Вычисляя аналогичным образом интеграл для 
и 
, получим
. Окончательно формула интегрирования примет вид
Для начала вычислений по методу Адамса необходимо знать решение уравнения в первых m+1 точках аргумента. Находят их обычно по методу Рунге-Кутта. Применение метода Адамса позволяет сократить объем вычислений, т.к на каждом шаге правую часть уравнения вычисляют один раз, в то время как в методе Рунге-Кутта четыре раза.
Варианты заданий.
|
Вар. № |
Дифф. Уравнение. |
Начальные условия |
T2 |
Z=(t) |
|
|
t1 |
t3 |
||||
|
1 |
dy/dt=(t+2y)/t |
1 |
1 |
10 |
Z=2t2-t |
|
2 |
dy/dt=(y-te4/t)/t |
1 |
1 |
100 |
Z=-tln(ln(te1/e)) |
|
3 |
dy/dt=(2t2+2y)/t |
1 |
0 |
5 |
Z=-t2+t4 |
|
4 |
dy/dt=2t(t2+y) |
0 |
0 |
3 |
Z=et^2-t2-1 |
|
5 |
dy/dt=(4y+2t2y1/2)/t |
1 |
0 |
3 |
Z=t4ln2t |
|
6 |
dy/dt=y/(t+1)+1/y |
0 |
2 |
80 |
Z=(6(t+1) 2-2(t+1)) 1/2 |
|
7 |
dy/dt=y/t-y-t |
1 |
0 |
7 |
Z=t(e1-t-1) |
|
8 |
dy/dt=(1-y2)/(2t) |
1 |
2 |
100 |
Z=(-3t-1)/(-3t+1) |
|
9 |
dy/dt=-2y2+y/t |
1 |
2 |
20 |
Z=t/(t2-0.5) |
|
10 |
dy/dt=(3y+2ty)/t2 |
3 |
9 |
50 |
Z=t2e1-3/t |
|
11 |
dy/dt=e-t-2y |
0 |
2 |
10 |
Z=e-2t+e-t |
|
12 |
dy/dt=(y-t2)/t |
1 |
0 |
50 |
Z=t-t2 |
|
13 |
dy/dt=2tet^2-2ty |
0 |
0 |
1.5 |
Z=t2et^2 |
|
14 |
dy/dt=e-t^2-2ty |
0 |
1 |
3 |
Z=(1+t)e-t^2 |
|
15 |
dy/dt=(2t+ysint)/cost |
0 |
0 |
1.55 |
Z=t2/cost |
|
16 |
dy/dt=(t3cost+2y)/t |
1 |
0.84147 |
25 |
Z=t2sint |
|
17 |
dy/dt==1/cos3t-ytgt |
0 |
0 |
1.5 |
Z=sint/cos2t |
|
18 |
dy/dt=(3t2ln2t+y)/(tlnt) |
2 |
5.54517 |
5 |
Z=t3lnt |
|
19 |
dy/dt=2tee^t+yet |
0 |
0 |
1.5 |
Z=t2ee^t |
|
20 |
dy/dt=e(1-t)e^t-tety |
0 |
0 |
2 |
Z=te(1-t)e^t |
|
21 |
dy/dt=2ty2-2ty |
0 |
0.5 |
3 |
Z=1/(1+e^(t^2)) |
|
22 |
dy/dt=y2et^2-2ty |
0 |
0.1 |
5 |
Z=(e-t^2/(10-t) |
|
23 |
dy/dt=y2cost+ycost |
0 |
-0.5 |
3.141 |
Z=-1/e-sint+1 |
|
24 |
dy/dt=y+et |
0 |
1 |
6 |
Z=(t+1)et |
|
25 |
dy/dt=(t-y) 2+1 |
0 |
-1 |
100 |
Z=t-1/(t+1) |