Сплайн интерполяция.

Сплайном порядка m называется функция, которая является полиномом степени m на каждом интервале между узловыми точками и во всех внутренних узлах удовлетворяет условиям непрерывности функции и производных.

Степень полинома m называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной производной - дефектом сплайна.

Кубический (m=3) сплайн.

Наибольшее распространение получил кубический сплайн y=ax3+bx2+cx+d. Найдем зависимости для вычисления его коэффициентов a,b,c,d по значениям функции и ее первых производных в соседних узловых точках. Для упрощения выкладок примем, что значение аргумента левой угловой точки интервала xi,xi+1, для которого ищем сплайн функцию, равно нулю. Это всегда можно сделать преобразованием x=xi+xh, где xh новый аргумент.

Тогда задача формулируется следующим образом: найти неизвестные коэффициенты a,b,c,d сплайна, удовлетворяющие в узловых точках условию x1=0; y(x1)=f1; yx’(x1)=f1’; y(x2)=f2; yx’(x2)=f2’.

Здесь f1,f2,f1’,f2’- соответственно значения интерполируемой функции и ее производной в узловых точках х1,х2.

Для нахождения a,b,c,d составим систему уравнений, используя условия в узловых точках

Подставляя найденные значения d, c в два последних уравнения и разрешая их относительно a, b получим

Подставляя найденные коэффициенты в кубический сплайн и задавая значение аргумента, вычислим значение функции между узловыми точками.

Часто при интерполяции имеются только значения функции в узловых точках и отсутствуют значения производных. Тогда первые производные во внутренних узловых точках вычисляют по формулам

-число узловых точек;

h- расстояние между узловыми точками. Значение производной в первой и последней узловых точках вычисляют по формулам:

приближенные значения вторых производных во второй и n-1 точках.