1. 2. Метод Лобачевского

В этом пункте будем считать, что нам уже известно о наличии у заданного полинома двух действительных корней и 2 пар комплексных сопряженных корней (это было определено выше).

В работе выбрано число шагов квадрирования равное 8. Такое большое количество шагов квадрирования объясняется попыткой получить максимально возможное по точности решение. Средства Mathcad’а позволяют сделать только эти 8 шагов (далее степени уже слишком велики). Были проведены исследования точности корней полинома при различных , и самые точные значения получаются при максимальном m.

Определим квадраты модулей корней:

Далее необходимо найти  и  для пар комплексных сопряженных корней. Таких пар у нас 2.

Действительные части двух пар определим из системы линейных уравнений:

где r3k, r4k – квадраты модулей действительных корней.

Получим, что , а . Зная, что  находим мнимые части пар корней: , . Полученные корни

в сравнении с расчетами предыдущего пункта совпадают.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что метод Лобачевского для данного полинома эффективен:

2. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Метод Адамса

При решении системы дифференциальных уравнений методом Адамса возникает единственная проблема — поиск трех приближений, задающих «начальный отрезок»:

;

;

.

Наиболее точные результаты дает встроенная функция Mathcad’а, моделирующая метод Рунге-Кутта.

При программировании метода Адамса применялась экстраполяционная формула Адамса 3-го порядка:

Ясно, что при увеличении шага точность вычислений увеличивается. В приложении это продемонстрировано для двух случаев: h = 0.1, h = 0.05.

2.2. Метод Адамса-Крылова

Метод Адамса-Крылова позволяет определить «начальный отрезок» (необходимый при использовании схемы Адамса) при помощи «последовательных сближений».

Трех шагов приближения оказалось достаточно для определения «начального отрезка» с большой точностью.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966. — 664.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1977. — 832 с.

3. Указания к курсовой работе (электронный вариант).