Лабораторная работа № 1

Численные методы решения уравнений вида

Постановка задачи

Найти приближенное значение корня уравнения  методом половинного деления. Абсолютная погрешность заданного значения не должна превышать e=0,0001.

Блок-схема

Текст программы

program lab1;

function func(x:real):real;

begin

func:=x+ln(x+0.5);

end;

Методические указания.

При разработке новых технических систем, поведение их или их узлов часто описывается обыкновенными ДУ. Поэтому для оценки качества функционирования новой системы необходимо решить так называемую задачу Коши, т.е. найти решение ДУ y’=f(y,x) при заданном начальном условии y(x0)=y0. В подавляющем большинстве случаев решение может быть получено только численными методами.

Из большого числа численных методов наибольшее распространение получили методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса, Милна.

Методы Рунге-Кутта.

Существует группа алгоритмов, называемых методами Рунге-Кутта, отличающихся точностью и объемом вычислений. Основные идеи методов рассмотрим на примере вывода формул второго порядка точности.

Зададим формулу для вычисления нового значения решения уравнения y’=f(x,y) выражением

Интерполяция функций.

Интерполяция - это нахождение значения функций между ее узлами. Пусть известны значения функции в n+1 узловых точках f(xi),(i=0,1,2,…,n). Найти значение функции в промежуточных точках х, не совпадающих с хi,(i=0,1,2,…,n). При решении этой задачи находят многочлен степени n, совпадающий со значениями функции в узловых точках, и вычисляют значение функции в точке х.

Если n=1, т.е. имеем две узловые точки, то такая интерполяция называется линейной. Формула линейной интерполяции имеет вид (рис1).

L1(x)=k(x-x0)+f(x0), где k=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

Методические указания.

При решении задачи вычисления минимума функций выбор наиболее приемлемого метода зависит от наличия или отсутствия ограничений на аргументы функции и от существования у нее производной во всех точках области минимума.

Метод золотого сечения.

Этот метод позволяет вычислить минимум функции f(x) от одного аргумента, в том числе и кусочно-непрерывной, имеющей один минимум на отрезке [a,b]. Разделим интервал [a,b] точками х1,х2 на три части.

Методические указания.

При математическом моделировании технических или научных задач на ЭВМ часто возникает необходимость вычисления определенных интегралов от функций заданных аналитически или в ряде точек. При этом получить аналитическое значение интеграла невозможно ввиду сложности функции. В этом случае применяют численные методы интегрирования, основанные на замене реальной площади под функцией некоторой приближенной функцией на интервале интегрирования [a,b].

Метод прямоугольников.

В методе прямоугольников площадь под кривой f(x), для которой надо вычислить интеграл  заменяют прямоугольниками.