Отображения и функции

Подмножество f Ì A ´ B называется функцией если для каждого элемента a, a A, найдется не более одного элемента b B вида (a,b) f. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция f имеет тип A ® B (обозначение f : A ® B ). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(a)= b. Элемент а называется аргументом функции, b – значением функции на а. Полностью определенная функция f : А ® В называется отображением A и B. Образ А при отображении f обозначается f(A). Если соответствие f при этом сюръективно, т. е. каждый элемент В имеет прообраз в А, то говорят, что имеет место отображение A на B (сюръективное отображение). Если f(A) состоит из единственного элемента, то f называется функцией-константой. Отображение типа А ® А часто называют преобразованием множества А.

Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество А и для любого a Î A f(a)=g(a).

Пример 3.9.

1. Функция f(x)=2^x является отображением N в N и N₀ на М₂n.

2. Всякая нумерация счетного множества является его отображением на N.

3. Функция f (x)=  не полностью определена, если ее тип N ® N, и полностью определена, если ее тип N ® R или R₊ ® R (R₊ – положительное подмножество R).

4. Пусть зафиксирован список {a₁, a₂, …, a_n} всех элементов конечного множества A. Тогда любой вектор v_i = (a_i1, a_i2, …, a_in) из Аⁿ можно рассматривать как описание функции f_i: A® A (т. е. преобразования А), определяемой следующим образом: f_i(a_j ), т.е. значение f_i для a_j равно j-й компоненте v_i. Число всех преобразований А равно, следовательно, |Aⁿ| = nⁿ. Аналогично всякую функцию типа N ® N можно представить бесконечной последовательностью элементов N, т. е. натуральных чисел; отсюда нетрудно показать, что множество всех преобразований счетного множества континуально.

5. Каждое натуральное число п единственным образом разлагается на произведение простых чисел (простых делителей этого числа). Поэтому, если договориться располагать простые делители п в определенном порядке (например, в порядке неубывания), то получим функцию q(n) типа , отображающую N в множество векторов произвольной длины. Например, q(42) = (2, 3, 7), q(23) = 23, q(100) = (2, 2, 5, 5). Это отображение не является сюръективным, так как в область значений q не входят векторы, для компонент которых не выполнено условие неубывания, а также векторы с непростыми компонентами.

Функция типа A₁ ´ A₂ ´…´ A_n ® B называется п-местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов:
f(a₁, a₂, …, a_n) = b, где a₁ A₁, a₂ A₂, …, a_n  A_n . Сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на R, т. е. функциями типа R₂ ® R. Таблица выигрышей лотереи задает двухместную не полностью определенную функцию, которая устанавливает соответствие между парами из N ² (серия, номер) и множеством выигрышей.

Пусть дано соответствие G Í A´B. Если соответствие H Í B´A таково, что (b, а)  Н тогда и только тогда, когда (a, b) G, то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G ^-1. Если соответствие, обратное к функции f : A® B, является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f ^-1. Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к
f : А ® В, требуется, чтобы каждый элемент b из области значений f имел единственный прообраз. Это, в свою очередь, означает, что для функции f : А ® В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример 3.10.

1. Функция sin x имеет тип R ® R. Отрезок [-p/2, p/2] она взаимно однозначно отображает на отрезок [-1, 1]. Поэтому на отрезке [-1, 1] для нее существует обратная функция arcsin(x).

2. Кодирующие функции каждому объекту из своей области значений ставят в соответствие некоторый код. Для кодирующей функции обратной будет декодирующая функция, которая каждому коду ставит в соответствие закодированный этим кодом объект. Если кодирующая функция не сюръективна, то декодирующая функция не всюду определена.

Пусть даны функции f : А® В и g: B ® C. Функция h: А ® С называется композицией функций f и g (обозначение f · g), если имеет место равенство
h (x) = g (f (x)), где х А. Композиция f и g представляет собой последовательное применение функций f и g; g применяется к результату f. Часто говорят, что функция h получена подстановкой f в g. Знак «· » аналогично умножению часто опускается.

Для многоместных функций f : A^m ® B, g: Bⁿ ® C возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов. Например, при m = 3, n = 4 функция h₁= g (x₁, f (y₁, y₂, у₃), х₃, х₄) имеет шесть аргументов и тип B´A³´B² ® C, а функция h₂ = g (f (y₁, y₂, y₃), f (z₁, z₂, z₃), х₃, х₄) имеет восемь аргументов и тип A⁶´B² ® C. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа f₁: A^m1® A,..., f_n: A^mn® A. В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов, например переименование x₃ в x₂, порождающее из функции f (x₁, x₂, x₃, x₄) функцию трех аргументов
f (x₁, х₂, х₂, x₄). Функция, полученная из f₁,...,f_n некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией f₁,..., f_n . Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов, называется формулой.

Пример 3.11.

Функции sin x и имеют тип R ® R, т. е. отображают одно и то же множество в себя. Поэтому их композиция возможна в произвольном порядке и дает функции sin и x. Заметим, что области определения их различны: первая функция определена на положительной полуоси; вторая функция определена на множестве отрезков [2kp, (2k+1)p], где k = 0, ±1,
±2, …. Таким образом, область определения композиции может быть уже областей определения обеих исходных функций и даже оказаться пустой.

1. Множество K = {k₁, k₂, …, k_m} команд ЭВМ отображается в коды процессора этой ЭВМ, т.е. в натуральные числа. Кодирующая функция j имеет тип К ® N. С помощью суперпозиции этой функции и арифметических функций оказываются возможными арифметические действия над командами (которые сами по себе числами не являются), т. е. функции j (k₁) + j (k₂), (k₁) + 15 и т. д.

2. В функции f₁(x₁, x₂, х₃) = x₁ + (2x₂+7x₃) переименование х₃ в х₂ приводит к функции f₁(x₁,x₂,x₂) = x₁+2х₂+7х₂, которая равна функции двух аргументов f₂ = x₁+ 9х₂. Переименование x₁ и x₃ в x₂ приводит к одноместной функции f₃(x₂) = 10 x₂.