Перевод целых чисел из десятичной системы в систему счисления с основанием В

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с любым другим основанием В основывается на следующих соображениях. Если некоторое целое число N записано в B-ичной позиционной системе с естественными весами разрядов в виде

то эта запись обозначает, что десятичный эквивалент числа определяется как

Ясно, что младшая цифра 4a₁, a₁ < B, есть остаток от деления N на B. Целая часть частного от деления N на B равна:

Вторая цифра числа a₂ есть остаток от деления N₁ на B и т.д. Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы в позиционную B-ичную систему счисления выглядит следующим образом:

1) разделить исходное число N (заданное в десятичной системе) на B; полученный остаток является младшей цифрой в представлении числа B-ичной системой счисления;

2) разделить целую часть частного, полученного при предыдущем делении, на B, остаток является очередной цифрой в B-ичном представлении числа;

3) повторять п. 2 до тех пор, пока целая часть частного не окажется равной нулю;

4) записать число в системе счисления с основанием B, используя остатки от деления по п. 1 и п. 2 в качестве значений разрядов этого числа. Последний из полученных остатков определяет значение старшего разряда.

Все операции выполняются в десятичной системе счисления.

Пример 1.7.

Перевести десятичное число 31873₁₀ в восьмеричную систему счисления:

Искомое представление числа ® 76201₈ .

Пример 1.8.

Требуется перевести десятичное число N₁₀ в двоичную систему счисления.

Двоичная запись десятичного числа N₁₀ = 189₁₀ имеет следующий вид:

N₂ = 10111101₂.

Проверка правильности перевода:

10111101₂ = 1×2⁷ + 0×2⁶ +1×2⁵ +1×2⁴ +1×2³ +1×2² +0×2¹ +1×2⁰ = … = 128 + 32 +

+ 16 + 8 + 4 + 1 = 189.

Пример 1.9.

Требуется перевести десятичное число N₁₀  в восьмеричную систему счисления.

Восьмеричная запись числа N₁₀ = 189₁₀ имеет вид N₈ = 275.

Проверка правильности перевода:

Перевод дробных чисел из десятичной системы в систему счисления с основанием B

Перевод дробных чисел из десятичной системы в любую другую систему счисления с основанием B выполняется по аналогии с переводом целых чисел.

Если некоторое дробное число D записано в B-ичной позиционной системе счисления с естественными весами разрядов в виде D = 0,d₁ d₂ d₃ ... d_m-1 d_m,

то это означает, что

Отсюда вытекает следующий алгоритм преобразования:

1) умножить исходное число D (заданное в десятичной системе) на B, целая часть полученного результата является старшей цифрой в представлении числа B-ичной системой;

2) умножить дробную часть полученного в п. 1 результата на B; целая часть полученного произведения является очередной цифрой в B-ичном представлении числа;

3) повторять п. 2 до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или пока не будет получено заданное количество цифр в B-ичном представлении числа.

Все операции можно выполнять в десятичной системе счисления.

Пример 1.10.

Перевести десятичное число D₁₀ = 0,972687 в восьмеричную систему счисления.

Пример 1.11.

Требуется перевести правильную десятичную дробь D₁₀ в двоичную систему счисления.

Пусть D₁₀ = 0,6875; В = 2.

Результатом преобразования правильной десятичной дроби D₁₀ в двоичную систему счисления является запись D₂ = 0, 1011.

Проверка правильности перевода:

0, 1011₂ = 0, (1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 + 1×2^-4) = 0, (1/2 +1/8 +1/16) = 0,6875₁₀.

Пример 1.12.

Требуется перевести десятичную дробь D₁₀ в восьмеричную систему счисления.

Пусть D₁₀ = 0,6875; B = 8.

Восьмеричная запись десятичной правильной дроби D₁₀ имеет вид

D₈ = 0,54.

Проверка правильности перевода:

0,54₈ = 0, (5×8^-1 + 4×8^-2) = 0, (5/8 + 4/64) = 0,6875₁₀.

Пример 1.13.

Перевод числа D₁₀ = 1/3 в двоичную систему счисления.

и т. д. (периодически).

Искомое представление числа – (0,010101 ...)₂.