Шестнадцатеричная позиционная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления (В = 16) для записи всевозможных чисел используется шестнадцать различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Весовые коэффициенты цифр шестнадцатеричного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) числа 16. Для целой части числа, начиная от младшего (правого) разряда к старшему, они равны 1, 16, 256, 4096 и т.д.; для дробной части числа от старшего разряда к младшему весовые коэффициенты цифр имеют значения соответственно 1/16, 1/256, 1/4096 и т.д.

Например, десятичное число 1254₁₀ в шестнадцатеричной системе будет представлено как 4Е6_16.

Шестнадцатеричные таблицы сложения и умножения приведены ниже (табл. 1.4 и табл. 1.5 соответственно).

Таблица 1.4

Таблица 1.5

1.2 Перевод чисел из одной позиционной системы счисления

в другую

При выполнении операций перевода чисел из системы счисления с основанием В в систему счисления с основанием Р выполняется, как правило, через десятичную систему счисления: из В-ичной системы счисления число переводится в десятичную систему, затем из десятичной системы в Р-ичную. Только в некоторых специальных случаях такой перевод осуществляется непосредственно, минуя десятичную систему. Перевод выполняют отдельно для целой и отдельно для дробной части числа.

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием В десятичную систему

Пусть задано целое число a_m a_m-1 a_m-2 ... a₂ a₁, записанное в позиционной системе счисления с основанием В с естественными весами разрядов. Как было рассмотрено выше, это означает, что данное число может быть записано в виде:

Это выражение (при условии, что В указано в десятичной системе счисления) позволяет получить десятичный эквивалент числа N.

Приведенное выше выражение числа N можно переписать так:

Эта запись дает удобный алгоритм для перевода чисел в десятичную систему, который состоит из следующих операций:

1) умножить старшую цифру числа a_m на основание системы счисления B;

2) добавить к результату по п.1 следующую по порядку цифру числа;

3) умножить результат, полученный в п. 2, на B;

4) повторять пункты 2 и 3 до тех пор, пока при выполнении п. 2 не будет добавлена младшая цифра числа; на этом действии прервать операции.

Все операции выполняются в десятичной системе счисления.

Пример 1.5.

Перевести восьмеричное число 76201₈ в десятичную систему счисления:

Перевод дробных чисел из системы счисления с основанием B в десятичную систему

Дробное число D = 0, d₁ d₂ d₃ ... d_m-1 d_m, представленное позиционной B-ичной системой счисления с естественными весами разрядов, можно записать в виде

или иначе

Алгоритм перевода (аналогично предыдущему) выглядит следующим образом:

1) разделить младшую цифру числа d_m на основание системы счисления B (или умножить на 1/ B);

2) добавить к предыдущему результату следующую по порядку цифру числа;

3) разделить предыдущий результат на основание системы счисления (или умножить на обратную величину);

4) повторять пункты 2 и 3 до тех пор, пока при выполнении п. 2 не окажется добавленной старшая цифра числа; после этого выполнить п. 3 один раз.

Пример 1.6.

Перевод восьмеричного числа 0,76201 в десятичную систему: