3.4. Векторы и прямые произведения

Вектор – это упорядоченный набор элементов. Сказанное не следует считать определением вектора, поскольку тогда потребуется давать объяснения по поводу его синонима «упорядоченный набор». Понятие «вектор» (другой синоним – «кортеж») будем считать, как и понятие множества, неопределяемым. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Координаты нумеруются слева направо. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Бесконечные векторы рассматриваться не будут. В отличие от элементов множества координаты вектора могут совпадать. Вектор будем заключать в круглые скобки, например (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые опускаются. Векторы длины 2 часто называются упорядоченными парами (или просто парами), векторы длины 3 – тройками и т. д. Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны. Иначе говоря, векторы (a₁,a₂,…,a_m) и (b₁,b₂,…,b_n) равны, если m=n и a₁=b₁, a₂=b₂, …, a_m=b_n.

Прямым произведением множеств A и B (обозначение А´В) называется множество всех пар (a,b), таких, что aA, bВ. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат А. Такое произведение обозначается А². Аналогично прямым произведением множеств A₁, A₂, …, A_n (обозначение A₁´A₂´…´A_n) называется множество всех векторов (a₁, a₂, …,a_n) длины n, таких, что a₁A₁, a₂A₂, …,a_nA_n . A´A´A´…´A обозначается Aⁿ.

Пример 3.6.

1. Множество R´R=R² – это множество точек плоскости, точнее пар
вида (а, b), где a, bR и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

2. A = {а, b, с, d, e, f, g, h}, B={1, 2, 3, …, 8} Тогда A´B = {а1, а2, а3, ..., h7, h8} – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.

3. Рассмотрим множество числовых матриц 3х4, т. е. матриц вида

,

где а_ij принадлежит множеству R действительных чисел. Строки матрицы – это элементы множества R⁴ (векторы длины 4). Сама матрица, рассматриваемая как упорядоченный набор (т. е. вектор) строк, – это элемент множества (R⁴)³ = R⁴´R⁴´R⁴. Компоненты матрицы, заданной таким образом, – строки, а не числа. Поэтому (R⁴)³ ¹ R¹². Содержательный смысл этого неравенства в том, что в векторе из R¹² не содержится никакой информации о строении матрицы; тот же вектор из R¹² мог бы перечислять элементы матриц 4´3 или 2´6, которые как математические объекты вовсе не совпадают с матрицами 3´4.

Приведенный пример показывает, в частности, что компонентами векторов могут быть также векторы.

4. Пусть A – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитами. Элементы множества Аⁿ называются словами длины п в алфавите A. Множество всех слов в алфавите А – это множество A*= ÈAⁱ = A¹ÈA²ÈA³È … При написании слов (которые по этому определению являются векторами) не принято пользоваться ни запятыми, ни скобками как разделителями; но они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите А – это просто конечная последовательность символов алфавита А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр {0, 1, ..., 9}. Текст, напечатанный на пишущей машинке, является словом в алфавите, определяемом клавиатурой данной машинки (включая знаки препинания и пробел).

Теорема 3.1. Пусть А₁, A₂,…, A_n – конечные множества и |A₁| = m₁, |A₂| = m₂, …, |A_n| = m_n. Тогда мощность множества A₁´A₂´A₃´…´A_n равна произведению мощностей A₁, A₂, A₃, …, A_n ,

Эта теорема может быть доказана методом математической индукции. Для n = 1 теорема тривиально верна. Предположим, что она верна для n = k, и докажем ее справедливость для n=k+1.

По предположению, | A₁´A₂´A₃´…´A_k | = m₁m₂m₃ … m_k. Возьмем любой вектор (a₁, a₂, …, a_k) из A₁´A₂´A₃´…´A_k и припишем справа элемент
a_k+1 A_k+1.. Это можно сделать m_k+1 разными способами; при этом получится m_k+1 различных векторов из A₁´A₂´A₃´…´A_k+1. Таким образом, из всех
m₁ … m_k векторов приписыванием справа элемента из A_k+1 можно получить m₁ … m_km_k+1 векторов из A₁´A₂´A₃´…´A_k+1, причем все они различны, и никаких других векторов в A₁´A₂´A₃´…´A_k+1 не содержится. Поэтому для n = k+1 теорема верна и, следовательно, верна для любых п.

Следствие: |Aⁿ| = |A|ⁿ.

Эта простая теорема и ее следствие лежат в основе очень многих комбинаторных фактов.

Проекции

Проекцией вектора v на i-ю ось (обозначение пр_iv) называется его i-я компонента. Проекцией вектора v = (a₁, a₂, …, a_n) на оси с номерами i₁, i₂, …, i_k называется вектор (a_i1, a_i2, …, a_ik) длины k (обозначение пр_{i1,i2, …, ik} v).

Пусть V – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества V на i-ю ось называется множество проекций всех векторов из V на
i-ю ось: пр_i V = {пр_i v | v V}. Аналогично определяется проекция множества V на несколько осей: пр_i1,i2,…,ik V = {пр_i1,i2,…,ik v | v Î V}. В частности, если
V = A₁´A₂´…´A_n, то пр_i1,i2,…,ik V = A_i1´A_i2´…´A_ik. Отметим, что в общем случае пр_i V – вовсе не обязательно прямое произведение; оно может быть его подмножеством.

Пример 3.7.

1. Проекция точки плоскости на 1-ю ось – это ее абсцисса (первая координата); проекция на 2-ю ось – ордината.

2. V ={(a,b,d), (c,b,d),(d,b,b)}, пр₁V = {a,c,d}, пр₂V = {b}, пр_2,3V = ((b,d), (b,b)}.