Восьмеричная позиционная система счисления
В восьмеричной системе счисления для записи всевозможных чисел используется восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы счисления В = 8. Любые числа представляются в виде последовательности восьмеричных цифр.
Например, десятичное число 257,75 в восьмеричной системе будет записано следующим образом:
Сложение и вычитание восьмеричных цифр производится по тем правилам, по которым эти действия выполняются в десятичной системе счисления.
Рассмотрим сложение. Как в десятичной, так и в любой другой системе счисления, сначала производится сложение значений самых правых разрядов чисел (вес которых во всех системах счисления равен единице), затем переходят к следующим, расположенным левее, разрядам и т.д. вплоть до самых старших из имеющихся разрядов. Необходимо помнить, что всякий раз, когда при сложении в каком-либо разряде получается сумма большая или равная основанию системы счисления, надо сделать перенос единицы в следующий (расположенный левее) разряд, а в данном разряде записать цифру, которая в сумме с основанием системы счисления дает эту сумму.
При выполнении операций сложения и вычитания удобно использовать восьмеричную таблицу сложения (табл. 1.1).
Таблица 1.1
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
12 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
6 |
6 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
7 |
7 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
10 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
20 |
В верхней строке и левом столбце записаны восьмеричные слагаемые. Восьмеричная сумма находится в клетке на пересечении соответствующего столбца и строки.
При выполнении операции вычитания уменьшаемое находят на соответствующей диагонали таблицы, вычитаемое – на верхней строке, а восьмеричную разность находят по методу пересечения в левом столбце таблицы.
Используя таблицу, можно выполнять операции сложения и вычитания многоразрядных восьмеричных чисел.
Восьмеричная таблица умножения может быть представлена следующим образом (табл. 1.2).
Таблица 1.2
|
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
20 |
|
3 |
0 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
30 |
|
4 |
0 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
40 |
|
5 |
0 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
50 |
|
6 |
0 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
60 |
|
7 |
0 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
70 |
|
10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
100 |
Правило получения произведения двух одноразрядных чисел по этой таблице аналогично правилу получения суммы по восьмеричной таблице сложения.
С помощью приведенных восьмеричных таблиц сложения и умножения, пользуясь теми же правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, производят умножение и деление многоразрядных восьмеричных чисел.
Двоичная позиционная система счисления
В двоичной системе счисления (В =2) для записи чисел используется всего две цифры: 0, 1. Любые двоичные числа представляются в виде последовательности нулей и единиц. Например, десятичное число 257,75 в двоичной системе счисления будет представлено так:
Из приведенного примера следует, что весовые коэффициенты цифр двоичного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) цифры два. При этом для целой части двоичного числа, начиная от младшего разряда к старшему, они равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д., а для дробной части двоичного числа, от старшего разряда к младшему, весовые коэффициенты цифр имеют значения 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 и т.д. Ниже приведена таблица сложения, вычитания и умножения двоичных цифр (табл. 1.3).
С помощью приведённых таблиц арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Таблица 1.3
|
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
|
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 × 0 = 0 |
|
0 + 1 = 1 |
1 – 0 = 1 |
0 × 1 = 0 |
|
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 × 0 = 0 |
|
1 + 1 = 10 |
10 – 1 = 1 |
1 × 1 = 1 |
Пр 