4.2. Логические функции одной и двух переменных
Логических функций одной переменной – четыре; они приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
|
x |
0 |
1 |
Название функции |
Обозначение функции |
|
f0(x) |
0 |
0 |
Константа «0» |
0 |
|
f1(x) |
0 |
1 |
Переменная х или функция повторения |
х |
|
f2(x) |
1 |
0 |
Инверсия или отрицание х (не х) |
`х ( ù х, х’) |
|
f3(x) |
1 |
1 |
Константа «1» |
1 |
Функции f0(x) и f3(x) – константы 0 и 1 соответственно; их значения не зависят от значения переменной x, и, следовательно, переменная х для них несущественна. Функция f1(x) «повторяет» х: f1(x) = x. Функция f2(x) принимает значения, противоположные значениям пременной х. Если х = 0, то f2(x) = 1, если х = 1, то f2(x) = 0. Эту функцию называют отрицанием х, (или инверсией х, или функцией НЕ) и обозначают 
. Из всех функций одной переменной f2(x) представляет наибольший интерес при конструировании логических схем.
Логических функций двух переменных – 16; они приведены в табл. 4.3.
Таблица 4.3
|
х1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Название функции |
Обозначе-ние функции |
Название по произношению |
|
х2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|||
|
f0(x1, x2) |
0 |
0 |
0 |
0 |
Константа «0» |
0 |
«всегда ложно» |
|
f1(x1, x2) |
0 |
0 |
0 |
1 |
Конъюнкция, логическое произведение |
х1х2, х1 Ù х2 |
«х1 и х2» |
|
f2(x1, x2) |
0 |
0 |
1 |
0 |
Функция запрета по х2, левая коимпликация |
х1 D х2 |
«х1, но не х2» |
|
f3(x1, x2) |
0 |
0 |
1 |
1 |
Переменная х1 |
х1 |
|
|
f4(x1, x2) |
0 |
1 |
0 |
0 |
Функция запрета по х1,правая коимпликация |
х2 D х1 |
«не х1, а х2» |
|
f5(x1, x2) |
0 |
1 |
0 |
1 |
Переменная х2 |
х2 |
|
|
f6(x1, x2) |
0 |
1 |
1 |
0 |
Логическая неравнозначность, сумма по модулю 2 |
х1 Åх2 |
«х1 или х2, но не то и другое вместе», «исключающее ИЛИ» |
|
Продолжение таблицы 4.3 |
|||||||
|
f7(x1, x2) |
0 |
1 |
1 |
1 |
Дизъюнкция, логическая сумма |
х1 Ú х2 |
«х1 или х2, или и то, и другое», «неисключающее ИЛИ» |
|
f8(x1, x2) |
1 |
0 |
0 |
0 |
Операция (стрелка) Пирса, операция Вебба |
х1¯х2 |
«(не х1) и (не х2)» |
|
f9(x1, x2) |
1 |
0 |
0 |
1 |
Логическая равнозначность, эквивалентность |
х1 ~ х2 х1 º х2 |
«х1 эквивалентно х2» |
|
f10(x1, x2) |
1 |
0 |
1 |
0 |
Инверсия (отрицание) х2 |
`х2 |
«не х2» |
|
f11(x1, x2) |
1 |
0 |
1 |
1 |
Импликация от х2 к х1, правая импликация |
х2 ® х1 |
«если х2, то х1» или «из х2 следует х1» |
|
f12(x1, x2) |
1 |
1 |
0 |
0 |
Инверсия х1 |
`х1 |
«не х1» |
|
f13(x1, x2) |
1 |
1 |
0 |
1 |
Импликация от х1 к х2, левая импликация |
х1 ® х2 |
«если х1, то х2» или «из х1 следует х2» |
|
f14(x1, x2) |
1 |
1 |
1 |
0 |
Операция (штрих) Шеффера |
х1 | х2 |
« не (х1 и х2)» |
|
f15(x1, x2) |
1 |
1 |
1 |
1 |
Константа «1» |
1 |
«всегда истинно» |
Функции f0(x1, x2) и f15(x1, x2) – константы 0 и 1, т.е. функции с двумя несущественными переменными. Формально эти функции отличаются от f0(x) и f3(x) в табл. 4.2; все функции в табл. 4.2 – унарные операции на В, а все функции в табл. 4.3 – бинарные операции на В. Однако ранее уже было принято функции, отличающиеся лишь несущественными переменными, считать равными.
Функция f1(x1, x2) называется конъюнкцией х1 и х2, ее обозначения:
х1 & х2, х1 Ù х2, х1 · х2 (знак конъюнкции аналогично умножению часто опускают и пишут х1х2). Конъюнкция равна 1, только если и х1 и х2 равны 1, поэтому ее называют часто функцией «И». Еще одно ее название – «логическое умножение», поскольку ее таблица действительно совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0 и 1.
Функция f6 (x1, x2) – это сложение по модулю 2. Ее обозначения:
х1 Å х2, х1 ¹ х2. Она равна 1, когда значения ее аргументов различны, и равна 0, когда они равны. Поэтому функцию f6 (x1, x2) иногда называют неравнозначностью.
Функция f7 (x1, x2) называется дизъюнкцией х1 и х2, ее обозначения:
х1 Ú х2, х1 + х2 . Она равна 1, если х1 или х2 равен 1 («или» здесь понимается в неразделительном смысле – хотя бы один из двух). Поэтому ее называют часто функцией «ИЛИ».
Функция f9 (x1, x2) называется эквивалентностью, или равнозначностью. Ее обозначения: х1 ~ х2, х1 º х2. Она равна 1, когда значения ее аргументов равны, и равна 0, когда они различны.
Еще три функции имеют свои названия:
f8 (x1, x2) — стрелка Пирса, обозначение х1 ¯ х2;
f13 (x1, x2) — импликация, обозначения х1 ® х2, х1 É х1 читается «если х1, то х2»;
f14 (x1, x2) — штрих Шеффера, обозначение х1| х2.
Остальные функции специальных названий не имеют и легко выражаются через перечисленные выше функции.
В функциях f3(x1, x2) и f12(x1, x2) переменная х2 фиктивна; из табл. 4.3 видно, что f3(x1, x2) = х1, f12(x1, x2) = `х1. В функциях f5(x1, x2) и f10(x1, x2) фиктивна переменная х1: f5(x1, x2) = х2, f10(x1, x2) = `х2.
Таким образом, из 16 функций двух переменных шесть функций имеют фиктивные переменные. С ростом п (числа переменных) доля функций, имеющих фиктивные переменные, убывает и стремится к нулю.
При синтезе произвольных логических схем нет необходимости использовать весь набор из 16 элементарных функций двух переменных, составляющих так называемую логически полную систему, а достаточно использовать лишь часть из них.
Полной называется такая система логических функций, используя которую, можно получить любую сколь угодно сложную логическую функцию с помощью операции суперпозиции и подстановки.