2.2. Равномерные простые и составные цифровые коды

Наиболее распространенным при цифровом кодировании является использование позиционных систем счисления. При этом любое m-разрядное число N с основанием системы счисления B может быть представлено в виде суммы (1.1).

Кодовые комбинации, соответствующие простому цифровому коду, содержат количество элементов, соответствующее числу разрядов числа N. Каждый элемент кодовой комбинации может принимать B различных значений.

Например, четырехразрядное десятичное число 4752 может быть представлено в виде суммы

4752 = 4×10³ + 7×10² + 5×10¹ +2×10⁰.

Максимально возможное число кодовых комбинаций определяется выражением

N_max = B^m. (2.1)

Как уже отмечалось, на практике наиболее широко используются двоичные коды, т.е. коды, базирующиеся на двоичной системе счисления, для которой разрядные коэффициенты могут принимать значения 0 и 1. Максимально возможное число кодовых комбинаций простого двоичного кода определяется выражением

N_max = 2^m. (2.2)

Двоичный код, широко используемый при передаче, хранении и обработке информации, неудобен, однако, при вводе и выводе информации, так как оператору трудно оперировать с непривычными двоичными числами. Кроме того, запись чисел в двоичной системе счисления громоздкая. Поэтому помимо двоичной получили распространение системы (как уже отмечалось в главе 1) с основанием, равным целой степени двойки (восьмеричная, шестнадцатеричная), которые с одной стороны, легко сводятся как к двоичной, так и к десятичной, а с другой – дают более компактную запись.

Составные коды базируются на составных системах счисления, имеющих два и более оснований. При таком кодировании числа, заданные в системе с некоторым основанием q, изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием p < q.

Среди составных кодов наибольшее применение нашли двоично-десятичные коды. Такие коды обычно используются в качестве промежуточных при переводе десятичных кодов в двоичные и наоборот, например при вводе в вычислительную машину данных, представленных в десятичной системе, или при выводе из машины информации для регистрации в десятичном коде.

В двоично-десятичном коде основной системой счисления является десятичная. Однако каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа (тетрады). Для фиксации цифр десятичного числа наибольшее практическое применение нашли четырехэлементные двоичные весовые коды 8 – 4 – 2 – 1; 7 – 4 – 2 – 1; 5 – 1 – 2 – 1 и 2 – 4 – 2 – 1. Цифры в названии кода выражают веса единиц в соответствующих двоичных разрядах.

В табл. 2.1 приведены записи десятичных цифр различными типами четырехэлементных двоичных кодов.

Таблица 2.1

С помощью четырех двоичных разрядов можно образовать 16 различных комбинаций, а т.к. используется только 10, то двоично-десятичный код обладает некоторой избыточностью.

2.3. Рефлексные (отраженные) коды

В простом двоичном коде при переходе от изображения одного числа к изображению соседнего старшего или соседнего младшего числа может происходить одновременное изменение цифр в нескольких разрядах. Как следует из табл. 2.2, при переходе от изображения числа 3 к изображению числа 4 в двоичном коде происходит одновременное изменение цифр в трех разрядах, а при переходе от изображения числа 7 к изображению числа 8 происходит одновременное изменение цифр в четырех разрядах.

Таблица 2.2

Это может явиться источником значительных ошибок при некоторых способах кодирования непрерывных сообщений. Например, при переходе от изображения числа 7₁₀ (0111₂) к изображению числа 8₁₀(1000₂) происходит смена цифр во всех четырех разрядах и может быть такой случай, когда вместо кода 0111₂ (7₁₀) или 1000₂ (8₁₀) будет зафиксирован код 1111₂, соответствующий десятичному числу 15₁₀, т. е. будет иметь место недопустимо большая погрешность.

Для устранения этого явления используются специальные двоичные коды, у которых при переходе от изображения одного числа к изображению следующего соседнего числа изменяется значение только одного разряда. Вследствие этого погрешность за счет неоднозначности считывания не превышает единицы изображаемого числа. К числу таких кодов относится код Грея, называемый иначе рефлексным (отраженным) кодом (табл. 2.2).

Код Грея является непозиционным кодом, т.к. вес его единицы не определяется номером разряда. В этом коде можно выделить оси симметрии (оси «отражения»), относительно которых наблюдается идентичность элементов в некоторых разрядах. Так, например, имеет место симметрия относительно оси, проведенной между числами 7 и 8. В комбинациях, симметричных относительно этой оси, идентичны три символа младших разрядов. Отмеченная особенность послужила основанием для введения термина «рефлексный код» (от английского to reflect – отражать). Вес единицы в коде Грея по абсолютной величине в k-том разряде определяется выражением

причем знак суммируемых членов положителен для всех нечетных единиц в числе, записанном в коде Грея (считать слева направо), и отрицателен для всех четных единиц. Например, значение числа 1101101, записанного в коде Грея, будет

В общем случае рефлексный код на основе двоичного кода строится по следующему правилу:

1) преобразование двоичного кода в код Грея начинается со стороны старших разрядов (слева направо);

2) старшему разряду кода Грея присваивается значение старшего разряда двоичного кода;

3) каждый последующий разряд в рефлексном коде принимает значение «0», если значение соответствующего разряда в двоичном коде совпадает со значением соседнего старшего разряда, в противном случае – «1».

Например, двоичное число 10011101011₂ в рефлексном коде записывается в виде 11010011110. Здесь цифра старшего разряда («1») совпадает со значением старшего разряда двоичного кода. Во втором слева разряде «1», потому что в двоичной записи числа цифра второго слева разряда не совпадает с цифрой первого разряда («0» и «1»); в третьем слева разряде имеем «0», потому что в двоичной записи числа значения третьего и второго разрядов совпадают («0» и «0») и т.д.

Само правило построения рефлексного кода дает простой способ перевода чисел из рефлексного кода в двоичную запись: значение старшего разряда в двоичной записи числа то же, что и значение старшего разряда в рефлексном коде; значение второго слева разряда в двоичном коде совпадает с первым, если вторая цифра в рефлексном коде есть «0», и противоположно значению первого разряда, если «1», и т.д.

Например, если рефлексный код имеет вид 00110100010, то соответствующая ему двоичная запись будет иметь вид 00100111100₂.

Есть и другой способ перевода чисел из кода Грея в двоичный код: первая единица со стороны старших разрядов остается без изменения, значения последующих разрядов остаются без изменения, если число предшествующих им единиц четно, и изменяются на противоположные (инвертируются), если число предшествующих им единиц нечетно.