У ацтеков и майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента и создавших там высокую культуру, была принята двадцатеричная система. Та же двадцатеричная система была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы кельтов сохранились в современном французском языке: например, «восемьдесят» по-французски будет quatre-vingts, т. е. буквально «четырежды двадцать». Число 20 встречается и во французской денежной системе: основная денежная единица франк делится на 20 су.
Из четырех перечисленных выше систем счисления (двенадцатеричной, пятеричной, шестидесятеричной и двадцатеричной), сыгравших наряду с десятичной заметную роль в развитии человеческой культуры, все, кроме шестидесятеричной, источники которой неясны, связаны с тем или иным способом счета по пальцам рук (или и рук, и ног), т. е. имеют, подобно десятичной системе, несомненное «анатомическое» происхождение.
Как показывают приведенные выше примеры, многочисленные следы этих систем счисления сохранились до наших дней и в языках многих народов, и в принятых денежных системах, и в системах мер. Однако для записи чисел и для выполнения тех или иных вычислений мы чаще всего пользуемся десятичной системой.
Десятичная позиционная система счисления
Общепринятая система изображения чисел основана на десятичной системе счисления. Число десять есть основание системы счисления. Иногда считают определением десятичной системы равенство весов отдельных разрядов целым степеням числа десять (в целой части числа веса разрядов равны 1 = 100, 10 = 101, 100 = 102 и т.д., в дробной части 10-1, 10-2 и т. д.).
Более общим определением десятичной системы счисления является возможность использования в любом разряде одного из десяти различных символов (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Рассматривая далее общепринятый способ представления чисел, отметим, что он основан на однородной системе счисления. Это означает, что количество допустимых символов (цифр) для всех разрядов одинаково: для каждого из разрядов допустимы десять цифр.
Наряду с этим возможны и смешанные системы с различным количеством допустимых цифр для разных разрядов. Например, смешанной является система, применяемая для измерения времени; в разряде секунд и в разряде минут возможно по 60 разных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 7 разных символов (от «0» до «6» – потому что 7 суток составляют 1 неделю) и т. д. Смешанной является также система, связанная с английскими денежными единицами (12 пенсов составляют один шиллинг, 20 шиллингов – один фунт).
Важно обратить внимание также и на тот факт, что в применяемой нами системе представления чисел количество различных знаков равно количеству цифр. Для каждой цифры имеется свой особый знак, всего таких знаков 10 (0, 1, 2,...,9). Такой способ изображения чисел называется непосредственным.
В отличие от этого возможны кодированные способы изображения чисел, когда количество различных знаков меньше, чем количество используемых цифр, а каждая цифра кодируется определенной комбинацией из нескольких таких знаков. Например, кодированной является упоминавшаяся выше система изображения времени: каждый из 60 символов, допустимых для разрядов минут и секунд, и каждый из 24 символов, допустимых для разряда часов, кодируется при помощи пары десятичных цифр. Всего разных знаков 10, хотя количество допустимых цифр в некоторых из разрядов намного выше.
Очевидно, что позиционный характер применяемой нами системы изображения чисел и выбор естественных весов разрядов существенным образом влияют на методику выполнения арифметических действий над числами, делая ее особенно простой и удобной для ручных вычислений. Однако для машинных вычислений и для некоторых специальных целей имеет смысл поискать, может быть, более удобные системы как среди позиционных систем с искусственными весами, так и среди символических систем.
Следует отметить, что разделение числа на целую и дробную части имеет смысл вообще только в позиционной системе. Для указания границы целой и дробной частей мы применяем обычно специальный знак – запятую. Но когда речь пойдет об изображении чисел в вычислительной машине, этот способ приходится пересматривать.
В качестве одной из особенностей обычного метода изображения чисел отметим еще, что в изображении отрицательных чисел записывается обычным порядком абсолютная величина числа, а перед ней ставится знак «минус». Такой способ называют прямым кодом для отрицательных чисел. Наряду с этим существуют и другие способы записи отрицательных чисел, которые иногда удобнее при использовании в вычислительных машинах.