1. Системы счисления. Основы арифметики цифровых вычислительных машин
1.1 Понятие системы счисления. Позиционные системы счисления
Системой счисления называется метод представления количественной информации при помощи символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные.
В непозиционной системе счисления числовое значение символа не зависит от его положения в числе, а в позиционной зависит от его места (позиции) в числе. Простейшей непозиционной системой счисления является единичная N1, в которой заданное целое число изображается в виде совокупности единиц, повторенных соответствующее число раз. Например, число 13 изображается как 1111111111111. Для изображения больших чисел единичная система счисления неудобна. Другим примером непозиционной системы счисления являются так называемые римские цифры. В этой системе имеется некоторый набор основных символов: единица – I, пять – V, десять – X, пятьдесят – L, сто – C, пятьсот – D, тысяча – M и т.д., и каждое число представляется как комбинация этих символов. Например, десятичное число 138 в этой системе счисления запишется так: CXXXVIII. В этой системе счисления смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Так, в приведенной выше записи десятичного числа 138 цифра X участвует три раза и каждый раз означает одну и ту же величину – десять единиц. Римские цифры встречаются, например, на циферблатах часов, однако в математической практике они не применяются.
Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать любые числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.
В общем случае в позиционной системе счисления любое целое число N можно выразить в следующей форме:
Далее такое число сокращенно записывается в виде
Символ В обозначает основание системы счисления и равен числу символов в алфавите данной системы счисления. В каждой системе счисления есть знак для обозначения нуля. Поэтому наибольшее числовое значение знака в каждой системе равно В – 1. Например, в десятичной системе (В =10) наибольшее значение равно девяти, а в двоичной (В = 2) – единице.
Символы а1 – аm являются знаками или цифрами данной системы счисления и отражают значение каждого из m разрядов (позиций) числа, m – количество разрядов числа, а множители B i определяют «вес» каждого разряда в данном числе. В привычной нам десятичной системе счисления «веса» разрядов справа налево соответственно равны 1, 10, 100, 1000 и т.д. Общее количество разрядов числа m теоретически неограниченно.
Наибольшее значение числа, которое может быть выражено в данной системе счисления при данном количестве разрядов m, Nmax = B m – 1.
В повседневной практике мы пользуемся почти исключительно десятичной системой счисления (В = 10). Лишь в очень редких случаях встречаются другие системы счисления. Почему именно числу 10 отведена такая привилегированная роль? Причины, по которым именно десятичная система счисления оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук – вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался, начиная с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда). Десять десятков составляют единицу третьего разряда и т. д. Таким образом, именно счет по пальцам рук положил начало той системе, которая кажется нам сейчас чем-то само собой разумеющимся. Десятичная система счисления далеко не сразу заняла то господствующее положение, которое она имеет сейчас. В разные исторические периоды многие народы пользовались системами счисления, отличными от десятичной.
Так, например, довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система. Ее происхождение связано, несомненно, тоже со счетом на пальцах, а именно: так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в совокупности 12 фаланг (рис. 1.1), то по этим фалангам, перебирая их по очереди большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и до наших дней: вместо того, чтобы сказать «двенадцать», мы часто говорим «дюжина». Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. п.) очень часто считают именно дюжинами, а не десятками. Сейчас уже крайне редко встречается слово «гросс», означающее «дюжину дюжин» (т.е. единицу третьего разряда в двенадцатеричной системе), но еще несколько десятков лет тому назад оно было довольно широко распространено, особенно в торговом мире. Дюжина гроссов называлась «масса», однако сейчас такое значение слова «масса» мало кому известно.
Несомненные остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан: в системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам); в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
С математической точки зрения двенадцатеричная система имела бы, пожалуй, некоторые преимущества перед десятичной, поскольку число 12 делится на 2, 3, 4 и 6, а число 10 – только на 2 и 5, а больший запас делителей у числа, служащего основанием системы счисления, делает ее более удобной в использовании.
В Древнем Вавилоне, культура которого, в том числе и математическая, была довольно высока, существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Эта система, как и двенадцатеричная, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд и в аналогичной системе измерения углов: градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам). В целом, однако, эта система, требующая шестидесяти различных цифр, довольно громоздка и менее удобна, чем десятичная.
По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления. Связь этой системы со строением человеческой руки – первоначальной «счетной машины» – достаточно очевидна.