4. АЛГЕБРА ЛОГИКИ

4.1. Логические функции

Науку о формах и законах мышления называют логикой. Одним из направлений логики как науки является формальная логика, составной частью которой является математическая логика. Одним из важнейших разделов математической логики является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика и логика Джорджа Буля).

Основным понятием алгебры логики является понятие высказывания. Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать, что в данный момент оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Например, высказывание «Луна – это спутник Земли» истинно, а высказывание «микропроцессор разработан в 1905г.» ложно. «Истинность» или «ложность» предложения есть истинностное значение высказывания.

Высказывания могут быть простыми и сложными. Сложные высказывания образуются из простых, объединенных логическими связями. Связи между высказываниями устанавливаются только на основании их истинностных характеристик.

3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

3.1. Множества и подмножества

Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества.

Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью. Таково интуитивное определение понятия множества, данное основателем теории множеств Кантором. Понятие множества, как и любое другое исходное понятие математической теории, не определяется. Ведь всякое определение содержит другие понятия, логически предшествующие определяемому; поэтому по крайней мере первое определение теории обязательно содержит неопределяемые понятия, которые и принимаются за исходные. В качестве исходных обычно выбираются понятия, в понимании которых не возникает существенных разногласий, различия в понимании которых не нарушают правильности ни одного положения теории.

Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и обозначают, как правило, малыми буквами латинского алфавита. Принадлежность элемента а множеству М обозначается а М («а принадлежит М»); непринадлежность а множеству М обозначается а M.

Множество может быть задано различными способами: перечислением элементов (конечные множества) или указанием их свойств (при этом для задания множеств используют фигурные скобки { }).

2. КОДИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ

2.1. Основные понятия и определения. Цель кодирования

Код – совокупность знаков (символов) и система определенных правил, при помощи которых информация может быть представлена (закодирована) в виде набора таких символов для передачи, обработки и хранения. Конечная последовательность знаков в этом наборе называется словом.

Кодирование – представление сообщения (информации) в виде совокупности символов, составленной в соответствии с выбранным кодом; преобразование символов или групп символов одного кода в символы или группы символов другого кода. Кодированию может быть подвергнута только информация, представленная в виде дискретных сигналов (буквы, цифры и т.п.). В тех случаях, когда первичные сигналы информационных систем являются непрерывными, происходит предварительное преобразование их в дискретные сигналы.

Декодирование – процесс, обратный кодированию, т.е. восстановление сообщения к исходному виду.

Кодирование обеспечивает представление сообщений в форме, удобной для передачи по конкретному каналу связи (в общем случае хранение информации можно рассматривать как ее передачу во времени, а запоминающее устройство как канал связи), и преследует несколько целей. Первая из них заключается в том, чтобы представить сообщения в такой системе символов, которая обеспечивала бы простоту и надежность аппаратной реализации информационных устройств и их необходимую эффективность. Вторая цель кодирования состоит в том, чтобы обеспечить наилучшее согласование свойств источника сообщений со свойствами канала связи. Путем такого согласования добиваются, например, обеспечения максимальной скорости передачи, требуемой помехозащищенности и достоверности передачи информации в условиях воздействия помех.

1. Системы счисления. Основы арифметики цифровых вычислительных машин

1.1 Понятие системы счисления. Позиционные системы счисления

Системой счисления называется метод представления количественной информации при помощи символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные.

В непозиционной системе счисления числовое значение символа не зависит от его положения в числе, а в позиционной зависит от его места (позиции) в числе. Простейшей непозиционной системой счисления является единичная N₁, в которой заданное целое число изображается в виде совокупности единиц, повторенных соответствующее число раз. Например, число 13 изображается как 1111111111111. Для изображения больших чисел единичная система счисления неудобна. Другим примером непозиционной системы счисления являются так называемые римские цифры. В этой системе имеется некоторый набор основных символов: единица – I, пять – V, десять – X, пятьдесят – L, сто – C, пятьсот – D, тысяча – M и т.д., и каждое число представляется как комбинация этих символов. Например, десятичное число 138 в этой системе счисления запишется так: CXXXVIII. В этой системе счисления смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Так, в приведенной выше записи десятичного числа 138 цифра X участвует три раза и каждый раз означает одну и ту же величину – десять единиц. Римские цифры встречаются, например, на циферблатах часов, однако в математической практике они не применяются.

Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать любые числа с помощью сравнительно небольшого числа знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.