1.2. Процесс обслуживания запросов в системах Эрланга.

При решении задач важно определить, при каких условиях процесс обслуживания заявок в СУБД можно считать установившимся. Если же по настройкам систем управления, которые рассматриваются в данный промежуток времени, процесс обслуживания нельзя признать установившимся, то необходимо оценить возможную ошибку при использовании формул, характеризующих стационарный режим работы.

Вполне возможно, что сразу же после включения системы в работу, протекающий в ней процесс не будет носить стационарный характер. В ней вначале может возникнуть так называемый переходный, нестационарный режим. Однако спустя некоторое время этот процесс постепенно сглаживается, и СУБД переходит на стационарный, установившийся режим функционирования. В этом случае вероятностные характеристики уже практически не будут зависеть от текущего времени.

Поэтому при оценке эффективности функционирования конкретных систем необходимо, прежде всего, оценить влияние начального периода обслуживания. Целесообразно установить, как быстро происходит затухание неустановившегося процесса, и определить условия, при которых можно сделать обоснованное предположение о начале работы системы в стационарном режиме.

При определении способности обработки СУБД с отказами для процессов обслуживания продолжительностью более (2-3)  с достаточной степенью точности для проведения обслуживания заявки можно использовать зависимости, характеризующие стационарный процесс обслуживания. При проведении этих расчётов можно рассчитывать на ошибку не более 10-20%.

Если продолжительность процесса обслуживания мала и точность результатов необходимо повысить, то следует использовать для расчётов метод статистических испытаний (Монте-Карло).

Наиболее полно разработан математический аппарат для СМО с отказами в установившемся процессе. Поэтому в дальнейшем рассматриваются системы с отказами в установившемся режиме работы.

Задачи для систем массового обслуживания с отказами впервые были сформулированы и решены А.К. Эрлангом. Для установившегося процесса обслуживания при поступлении в систему простейшего потока объектов и показательном (экспоненциальном) распределении времени обслуживания определение основных показателей эффективности функционирования систем с отказами производится по следующим расчётным формулам, которые называются формулами Эрланга. Эти формулы рассмотрены в следующей главе.

II. Многоканальные системы массового обслуживания

2.1. Многоканальная система массового обслуживания с отказами.

Пусть СМО с отказами имеет n каналов обслуживания, функционирующих независимо друг от друга. Входной поток заявок и поток обслуживания заявок являются пуассоновскими. Интенсивность поступления заявок равна l₁ ,интенсивность обслуживания m₁ .

1) Среднее число запросов, поступающих в систему за среднее время обслуживания:

(2.1)

где l₁ - плотность поступления запросов обслуживания в систему, запросы/единица времени;

- среднее время обслуживания одного запроса одним средством, мин. (ч. или сут.);

 - интенсивность обслуживания.

Параметры и в задачах выражаются в одной системе единиц.

2) Вероятность того, что обслуживанием занято точно k средств:

(2.2)

где n – максимальное число одновременно обслуживаемых клиентов.

3) Вероятность того, что система не занята обслуживанием ни одного запроса:

(2.3)

4) Учитывая, что формулу (1.2) представим в виде:

(2.4)

(2.5)

Разделив обе части равенства на P₀, получим:

(2.6)

5) Вероятность того, что все n средств обслуживания будут заняты:

(2.7)

6) Вероятность того, что запрос будет принят на обслуживание (относительная пропускная способность системы):

(2.8)

7) Абсолютная пропускная способность системы:

(2.9)

8) Среднее число занятых средств обслуживания:

или

(2.10)

9) Коэффициент занятости средств обслуживания:

(2.11)

10) Среднее число средств, свободных от обслуживания:

. (2.12)

11) Коэффициент простоя средств:

(2.13)

Для проверки расчётов можно воспользоваться выражением:

(2.14)

2.2. Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием и неограниченной очередью.

Пусть входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m, соответственно. Система массового обслуживания имеет m каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m .

В стационарном режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

, при , (2.15)

, при . (2.16)

Пусть .

1) При условии  решение системы уравнений имеет вид:

, (2.17)

 при , (2.18)

 при . (2.19)

Здесь P_n есть вероятность того, что в системе массового обслуживания n клиентов находиться на обслуживании.

2) Среднее число клиентов в очереди на обслуживание определяется следующей формулой:

. (2.20)

3) Среднее число находящихся в системе массового обслуживания клиентов (на обслуживании и в очереди):

. (2.21)

4) Средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

. (2.22)

5) Средняя продолжительность пребывания клиента в системе массового обслуживания:

. (2.23)

III. Аналитические модели, построенные на базе формул Эрланга

3.1. Модель канальной подсистемы управления базами данных.

Канальная подсистема СУБД содержит n каналов обслуживания. Предполагается, что заявки клиентов равномерно распределены на исследуемом интервале времени T (свойство стационарности потока заявок) и вероятность появления двух и более заявок в один и тот же момент времени ничтожно мала (свойство ординарности). Если к тому же интенсивность заявок в будущем не зависит от их количества в прошлом, то их можно рассматривать как простейший поток заявок l, а функционирование канальной подсистемы исследовать с помощью Марковских процессов.

Каждая поступившая заявка переводит канальную подсистему из k-го состояния S_k в состояние S_k+1, где k=0,1,2,…,n, при этом состояние S₀ соответствует случаю незанятости всех каналов, состояние S₁ – занятости одного канала (остальные свободные) и т.д., а состояние S_n – занятости всех каналов. Среднее время занятости канала  определяет интенсивность обслуживания заявки в первой системе . Так как при занятости всех каналов заявка на обслуживание не принимается, то моделью первой подсистемы СУБД является n-канальная система массового обслуживания с отказами, для которой вероятность отказа заявки на обслуживание определяется по первой формуле Эрланга (2.7). Вероятность того, что заявка будет обслужена (относительная пропускная способность канальной подсистемы) определяется из выражения (2.8).